Raio laser numa sala quadrada espelhada

O problema

Uma sala quadrada tem as quatro paredes feitas de espelhos perfeitos. Do centro M dispara-se um raio laser num ângulo θ ∈ (0, π/4] com uma parede. Nas paredes vale a reflexão comum (ângulo de incidência = ângulo de reflexão); se o raio atinge um canto, ele volta exatamente pelo caminho de onde veio. Escolhido θ de modo que o raio retorne a M, quantas reflexões ele sofre antes de voltar pela primeira vez?

Experimente

Edite o ângulo θ diretamente (em graus, ou arrastando o controle), ou informe tan θ como fração exata. O raio só retorna a M quando tan θ é racional — ao escolher um ângulo qualquer, a página usa a melhor fração com denominador limitado e mostra a aproximação feita.

Visualização

Mapa 3D — ângulo × número de reflexões

Cada ponto é um ângulo possível, uma fração irredutível tan θ = q/p. Eixos: x = q (numerador), y = p (denominador), z = N (número de reflexões). Aparecem só os pares coprimos — assim cada ponto é um ângulo distinto. Arraste para girar, role o mouse para aproximar, passe o cursor para ler um ponto e clique para carregá-lo na simulação acima.

Repare na estrutura: os pontos se acomodam sobre o plano inclinado z = x + y; os pontos de canto (laranja) ficam exatamente uma unidade abaixo. É a resposta da questão vista como superfície.

A matemática (com rigor)

1. Desdobrar a sala em vez de refletir o raio

Em vez de quebrar o raio a cada espelho, refletimos a sala. Cada reflexão passa a ser a continuação reta da trajetória numa cópia espelhada da sala. Assim a trajetória inteira — que parecia um ziguezague — vira um único segmento de reta numa malha de cópias da sala (veja o painel da direita). O laser volta a M exatamente quando esse segmento atinge uma cópia do centro.

2. A condição para o raio voltar

O segmento desdobrado tem coeficiente angular tan θ. Ele atinge uma cópia do centro só quando avança um número inteiro de salas em cada direção — ou seja, quando tan θ é racional. Escrevemos então qp como fração irredutível, com 1 ≤ q ≤ p (pois θ ≤ π/4 dá tan θ ≤ 1). A direção de disparo é o vetor inteiro (p, q).

3. Contando as reflexões

O segmento desdobrado vai de M até a cópia de M deslocada de (p, q) salas. No caminho ele cruza p retas verticais e q retas horizontais da malha — e cada cruzamento é uma reflexão. Logo, em geral, o número de reflexões é p + q.

Exceção — quando p e q são ambos ímpares: aí o segmento passa exatamente por um vértice da malha, que é um canto da sala. Esse ponto é, ao mesmo tempo, um cruzamento vertical e um horizontal, mas pela regra do canto conta como uma só reflexão. Some-se a isso que, no canto, o raio volta refazendo o caminho. O total cai em 1.

4. O número de reflexões é sempre ímpar

Se um entre p e q é par, então p + q é ímpar. Se os dois são ímpares, p + q é par e p + q − 1 é ímpar. Em qualquer caso, N(θ) é ímpar — o que a simulação confirma para todos os ângulos testados.